Limit Dan Turunan Fungsi

                      

                              Limit Fungsi (materi XIIA)

Limit Fungsi

Jenis-jenis Llimit Fungsi

Limit fungsi dalam matematika dapat dikenali dari jenis fungsinya, berdasarkan jenis fungsinya limit fungsi dibedakan menjadi:

• Limitfungsi aljabar, jika fungsi berupa fungsi aljabar

• Limitfungsi trigonometri, jika fungsi berupa fungsi trigonometri

• Limit fungsi eksponensial dan logaritma, jika fungsi berupa eksponen atau berupa logaritma

• Limit fungsi bilangan logaritma natural, dll.

Menghitung limit fungsi secara  secara intuitif

Menentukan nilai limit fungsi dapat dilakukan secara intuitif melalui pendekatan limit kiri dan limit kanan. Definisi limit fungsi secara intuitif adalah (Wirodikromo, 1995) :

Proses perhitungan limit fungsi disekitar titik dapat dipandang dari dua arah, yaitu

Contoh :

Hitunglah limit fungsi berikut ini, 

[Penyelesaian]

Gambar grafik  fungsi diatas  merupakan grafik fungsi pecah dengan asimtot x = 1 dan y = 0

 Dari grafik diatas perhitungan limit fungsi dapat dipandang dari dua arah yaitu dari kiri dan dari kanan :

Dari kiri :

Dari kanan :

 

 

 

 

 

 

 

Contoh menghitung limit fungsi secara intuitif

Diketahui fungsi f(x) = x + 1, tentukan nilai f(x) untuk x mendekati 2 dengan pendekatan limit kiri dan limit kanan.

[Penyelesaian]

x	1,8	1,9	1,99	1,999	-->2<--	2,001	2,01	2,1	2,2
f(x)=x+1	2,8	2,9	2,99	2,999	...?...	3,001	3,01	3,1	3,2

Dari tabel datas nampak bahwa jika jika x mendekati 2 baik dari kiri maupun dari kanan maka f(x) = x + 1 mendekati 3.

Jadi, 

Operasi Limit Fungsi dan Teorema Limit

Teorema Limit

Beberapa teorema limit fungsi yang sering digunakan dalam perhitungan limit fungsi (Wirodikromo, 1995) yaitu:

1.Limit suatu fungsi konstanta sama dengan konstanta tersebut

Jika f(x) = c, maka   ( c adalah konstanta dan a ϵ bilangan real)

2.Limit fungsi identitas sama dengan nilai pendekatan variabel atau peubahnya

Jika f(x) = x, maka   ( untuk setiap a ϵ bilangan real)

3.Limit jumlah beberapa fungsi sama dengan jumlah masing-masing limit fungsi tersebut.

4.Limit selisih beberapa fungsi sama dengan selisih masing-masing limit fungsi tersebut.

5. Limit hasil kali konstanta dengan suatu fungsi sama dengan hasil kali konstanta dengan limit fungsi tersebut

6.Limit hasil kali beberapa fungsi sama dengan  hasil kali masing-masing limit fungsi tersebut

7.Limit hasil bagi  beberapa fungsi sama dengan  hasil bagi masing-masing limit fungsi tersebut

8.Limit suatu fungsi pangkat n sama dengan pangkat n dari lmit fungsi tersebut

9. Limit akar pangkat n dari suatu fungsi sama dengan akar pangkat n dari limit fungsi tersebut

dan n genap

Contoh Soal limit fungsi penerapan dan pembahasan

Dibawah ini beberapa contoh soal limit fungsi dengan penerapan teorema limit yang telah dijelaskan diatas

Hitunglah nilia setiap limit fungsi dibawah ini dengan menerapkan teorema limit!

1.Penerapan teorema limit No 1,2 dan 4
   

[Penyelesaian]

2.Penerapan teorema limit No 1,dan 6 , 

[Penyelesaian]

3.Penerapan terema limit No 7 dan 9,  

[Penyelesaian]

4.Penerapan teorema limit No 6 , 8

Jika diketahui   . Hitunglah nilai dari  

[Penyelesaian]

Limit fungsi yang Mengarah ke Konsep Turunan

Limit fungsi dapat dipakai untuk menentukan turunan fungsi, Jadi laju perubahan nilai fungsi f(x) terhadap x pada x = a dapat di hitung dengan dengan mengambil h mendekati nol dengan syarat limit f(x) ada. Rumus turunan fungsi f(x) dengan pendekatan limit adalah:

Berikut ini contoh soal mencari turunan fungsi aljabar dengan pendekatan limit.

Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan menggunakan pendekatan limit fungsi!

[Penyelesaian]

Limit Fungsi Dalil L'hospital

Dalam menghitung nilai limit fungsi kita juga bisa menggunakan Dalil L'hospital, rumus Dalil L'hospital adalah:

Contoh soal menghitung limit fungsi dengan menggunakan Dalil L'hospital.Hitunglah 

[penyelesaian]

Limit fungsi Nilai Mutlak

Dibawah ini beberapa contoh limit fungsi nilai mutlak, yaitu:

[Penyelesaian]

 lim x→ 1 f(x)= lim x→ 1(x^2-2x+1) =1^2-2.1+1 =0, jadi  lim x→ 1 f(x) ada 

2. Perhatikan kembali soal No 2 berikut ini , hitunglah  lim x→ 0 |x|-1/x

[Penyelesaian]

(i) Jika x > 0, |x| = x, maka

lim x→ 0 |x|-1/x = lim x→ 0 x-1/x= lim x→ 0(1-1/x)= 1-∞ = -∞

(ii) Jika x < 0, |x| =- x, maka

lim x→ 0 |x|-1/x = lim x→ 0 -x-1/x= lim x→ 0(-1-1/x)= 1-∞ =-1+∞= ∞

∵ lim x→ 0^+ |x|-1/x≠ lim x→ 0^- |x|-1/x

∴ lim x→ 0 |x|-1/x tidak ada

Limit Fungsi dan Kontinuitas dan Diskontinuitas

Dalam istilah matematika grafik fungsi f(x) disebut kontinu di titik x = a , jika grafik f(x) di x = a berupa kurva mulus (tidak terputus) atau lim x→ a f(x) ada. Perhatikan gambar dibawah ini:

 

Grafik fungsi f(x) disebut  diskontinu di titik x = a, jika grafik f(x) di x = a terputus atau   lim x→ a f(x) tidak ada. Perhatikan gambar berikut ini:( limit-fungsi-diskontinu)

Syarat kontinuitas sebuah Fungsi  

Fungsi f(x) kontinu di x = a jika memenuhi ketiga syarat dibawah ini

Contoh soal dan pembahasan fungsi kontinu dan diskontinu

1. Tunjukan bahwa fungsi dibawah ini kontinu di x = 1

 

[Penyelesaian]

 

Selidiki terlebih dahulu syarat-syarat kontinuitas fungsi

2. Apakah fungsi berikut ini kontinu di x = 2

[Penyelesaian]

Selidiki terlebih dahulu syarat-syarat kontinuitas fungsi

Oleh karena f(2) tidak ada maka f(x) diskontinu di titik x =2 tidak perlu menyelidiki syarat (2) dan (3) karena satu syarat tidak dipenuhi oleh f(x).